محاسبه فرم نرمال و کاربرد آن در آنالیز دینامیک یک مدل درمان ایدز

بسیاری از مسائل مربوط به فیزیک، شیمی، مهندسی و غیره با یک دستگاه غیرخطی مدل سازی می شوند. در بیشتر موارد دستگاه های غیر خطی ساختار پیچیده ای دارند و تجزیه و تحلیل دینامیک آن ها دشوار می باشد. نظریه فرم نرمال یکی از موثرترین راه ها برای تجزیه و تحلیل موضعی در اطراف نقطه تعادل یا جواب های تناوبی می باشد. فرم نرمال مرتبه ی اول، ساده ترین فرم نرمال نمی باشد. لذا مفهوم فرم نرمال مداری مطرح می شود. ایده اصلی در فرم نرمال مرتبه اول، اعمال تغییر متغیر حالت نزدیک به همانی است، به طوریکه سیستم ثانویه بسیاری از خواص دستگاه اصلی را دارا باشد[?]. در صورتیکه در فرم نرمال مداری علاوه بر تغییر متغیر حالت از تغییر متغیر زمان مناسب نیز استفاده می شود. ساده ترین فرم نرمال انفراد هاپف – صفر در یک حالت خاص در سال 2001 ، توسط یو و یوان به کمک نرم افزار میپل و با استفاده از روش کار آمد محاسباتی ، مورد مطالعه قرار گرفت . در سال 1998، الگابا و گامرو فرم نرمال یک میدان برداری هاپف – صفر را با یک شرط عام روی قسمت مرتبه دوم وهمچنین یک شرط عام روی قسمت مرتبه سوم به دست آوردند و در سال 2005 چن و ونگ? و یانگ? فرم نرمال مداری این میدان برداری را در یک حالت خاص با یک شرط عام روی قسمت مرتبه دوم مطالعه کردند. از جمله ابزار های قدرتمند در محاسبه فرم نرمال، ساختار جبری sl(2) است. در این روش فضای تمام میدان های برداری، که قسمت خطی آن ها پوچ توان هستند (انفراد بوگدانف تاکنز)، به زیر فضاهای تجزیه ناپذیر و پایا که از نظر دینامیکی معنا دار هستند، تجزیه می شود و به واسطه این تجزیه یک پایه جدید برای فضا معرفی می شود. از مزیت های این روش، تسهیل در به کارگیری ابزارهایی مانند تابع ملنیکوف برای بررسی انشعابات سراسری در سیستم های غیر خطی، تسهیل در یافتن انتگرال اول سیستم (درصورت وجود) و افزایش کارآمدی ابزار های حل معادلات دیفرانسیل معمولی می باشد. از طرف دیگر مطالعه دینامیک هر یک از این زیرفضاها، مطالعه دینامیک کل سیستم را ساده تر خواهد کرد. این ایده در سال (????) توسط گازر و مختاری برای انفراد هاپف-صفر تعمیم داده شد. آن ها در مقاله خود فضای میدان های برداری منفرد هاپف صفر را به زیر فضاهای تجزیه ناپذیر و پایای شبه اویلرین و همیلتونی تجزیه و به کمک این ساختار ساده ترین فرم نرمال را برای آن محاسبه کردند. اما تا کنون هیچ نتیجه تحقیقاتی در زمینه فرم نرمال مداری انفراد هاپف-صفر منتشر نشده است. ما در این مقاله مبتنی بر ساختار (sl2)، با اعمال تغییر متغیر زمان مناسب، فرم نرمال مداری را برای خانواده ای از این سیستم ها به دو روش محاسبه می کنیم. در روش اول اولویت با حذف ترم های پاستیار و در روش دوم اولویت با حذف ترم های ناپاستیار از سیستم می باشد. هم چنین به کمک نرم افزار میپل، برنامه ای تنظیم کرده ایم که نتایج به دست آمده را اثبات می کند. در این پایان نامه، فرم نرمال مرتب? اول دستگاه های دینامیکی منفرد هاپف و فرم نرمال مداری دستگاه های دینامیکی منفرد هاپف-صفر را مورد بررسی قرار می دهیم. هم چنین به یکی از جدیدترین مدل های درمان ایدز، یعنی تزریق یک ویروس به طور ژنتیکی تغییر یافته به بدن مبتلایان، یک پارامتر ثابت به منظور نمایش سرعت تزریق اضافه و به کمک فرم نرمال، دینامیک آن را بررسی خواهیم کرد.